1.1.A - 习题课

机构学数学基础常见的习题整理

本文的参考笔记部分位于机构学的数学基础中

一、 直线的线矢量 ​

1. 定义类 ​

此类题目多涉及一些基本定义，掌握线矢量的定义即可，与此同时，需要清楚线矢量的本质是旋量的一种退化形式，用来判断线矢量合法性时需要用到。

1.1 题目：证明所有经过坐标原点 $O$ 的线矢量必然满足 $P=Q=R=0$。 ​

直接使用线矩定义 ${\mathit{s}}^0=\mathit{r}\times \mathit{s}$，取 $\mathit{r}=\mathbf{0}$ 即可。

解： 线矢量的矩 ${\mathit{s}}^0=\mathit{r}\times \mathit{s}$ 。若直线过原点，可取线上一点 $\mathit{r}=(0,0,0)$ ，则 ${\mathit{s}}^0=(0,0,0)$，即 $P=Q=R=0$。

1.2 题目：计算经过点 ${\mathit{r}}_1(1,1,0)$ 和 ${\mathit{r}}_2(-1,1,2)$ 的直线的 Plücker 坐标，并正规化。 ​

方向矢量取 ${\mathit{r}}_2-{\mathit{r}}_1$ 后可按比例缩放（不影响直线表示），正规化时除以 $\parallel \mathit{s}\parallel$。

解： 方向矢量 $\mathit{s}={\mathit{r}}_2-{\mathit{r}}_1=(-2,0,2)$，可取 $(-1,0,1)$。

线矩 ${\mathit{s}}^0={\mathit{r}}_1\times \mathit{s}=(1,1,0)\times (-1,0,1)=(1,-1,1)$。

Plücker 坐标：$(-1,0,1;1,-1,1)$。$\parallel \mathit{s}\parallel =\sqrt{2}$，正规化：

1.3 题目：求经过点 ${\mathit{r}}_1(1,1,0)$、方向矢量为 $(-1,1,2)$ 的直线的 Plücker 坐标并正规化。 ​

此处方向已直接给出，只需计算线矩即可。

解：$\mathit{s}=(-1,1,2)$，${\mathit{s}}^0={\mathit{r}}_1\times \mathit{s}=(1,1,0)\times (-1,1,2)=(2,-2,2)$。

Plücker 坐标：$(-1,1,2;2,-2,2)$。$\parallel \mathit{s}\parallel =\sqrt{6}$，正规化：

1.4 题目：填空，使下列坐标表示一条线矢量。 ​

(1) $(1,2,x;0,-1,-2)$

$1\cdot 0+2\cdot (-1)+x\cdot (-2)=0\Rightarrow x=-1$

(2) $(2,0,2;0,x,0)$

$2\cdot 0+0\cdot Q+2\cdot 0=0$，恒成立。$x$ 为任意实数。

(3) $(1,x,0;0,0,0)$

矩为零向量，$\mathit{s}\cdot {\mathit{s}}^0$ 恒为 $0$。$x$ 为任意实数。

(4) $(1,x,0;0,0,1)$

$1\cdot 0+x\cdot 0+0\cdot 1=0$，恒成立。$x$ 为任意实数。

线矢量是旋量在$h=0$时的退化，因此充要条件：$|\mathit{s}|\ne 0$ 且 $\mathit{s}\cdot {\mathit{s}}^{\mathbf{0}}=0$ ，即原部与对偶部的点积为0。

2. 线矢量几何应用 ​

2.1 题目：确定两线矢量 $L_1$ 与 $L_2$ 的公法线距离 $d$ 与交角 $\theta$。 ​

(a) $L_1=(1,0,-1;0,\frac{1}{\sqrt{2}},0)$，$L_2=(0,0,1;b,0,0)$

解：${\mathit{s}}_1=(1,0,-1)$，$\parallel {\mathit{s}}_1\parallel =\sqrt{2}$；${\mathit{s}}_2=(0,0,1)$，$\parallel {\mathit{s}}_2\parallel =1$。

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{2}}}\Rightarrow \theta ={135}^{\circ }$。

${\mathbf{\$}}_1\circ {\mathbf{\$}}_2={\mathit{s}}_1\cdot {\mathit{m}}_2+{\mathit{s}}_2\cdot {\mathit{m}}_1=(1,0,-1)\cdot (b,0,0)+(0,0,1)\cdot (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0)=b$。

由互易积公式：$b=-\sqrt{2}\cdot 1\cdot d\cdot \sin {135}^{\circ }=-\sqrt{2}\cdot d\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-d$ ，故 $d=|b|$。

(b) $L_1=(-1,0,1;0,-\frac{1}{\sqrt{2}},0)$，$L_2=(0,0,1;b,0,0)$

解：$\parallel {\mathit{s}}_1\parallel =\sqrt{2}$，$\parallel {\mathit{s}}_2\parallel =1$。$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\Rightarrow \theta ={45}^{\circ }$。

${\mathbf{\$}}_1\circ {\mathbf{\$}}_2=(-1,0,1)\cdot (b,0,0)+(0,0,1)\cdot (0,-\frac{1}{\sqrt{2}},0)=-b$。

$-b=-\sqrt{2}\cdot d\cdot \sin {45}^{\circ }=-d$，故 $d=|b|$。

线-线关系可以使用旋量互易积公式 ${\mathbf{\$}}_1\circ {\mathbf{\$}}_2=p_1{p}_2[(h_1+h_2)\cos {\alpha }_{12}-a_{12}\sin {\alpha }_{12}]$ 。对于线矢量（$h_1=h_2=0$ ），退化为 ${\mathbf{\$}}_1\circ {\mathbf{\$}}_2=-p_1{p}_2\cdot a_{12}\sin {\alpha }_{12}$ ，其中 $p_i=\parallel {\mathit{s}}_i\parallel$ , 夹角 $\cos {\alpha }_{12}=\frac{{\mathit{s}}_1\cdot {\mathit{s}}_2}{\parallel {\mathit{s}}_1\parallel \parallel {\mathit{s}}_2\parallel }$ 可直接从方向矢量求出。

值得注意的是，公式中 $a_{12}$ 是有向距离（从1指向2，正负取决于公垂线方向与 ${\hat{\mathit{s}}}_1\times {\hat{\mathit{s}}}_2$ 是否同向），公垂线长度 $d=|a_{12}|=|a_{21}|$。

2.2 题目：已知两平面 ${\mathit{\pi }}_1=((1,0,0);0)$ 和 ${\mathit{\pi }}_2=((0,1,1);1)$，求其交线的 Plücker坐标并正规化。 ​

解：

$\mathit{l}=\mathit{a}\times \mathit{b}=(1,0,0)\times (0,1,1)=(0,-1,1)$

${\mathit{l}}^0=a_0\mathit{b}-b_0\mathit{a}=0\cdot (0,1,1)-1\cdot (1,0,0)=(-1,0,0)$

Plücker 坐标（轴线坐标形式）：$(0,-1,1;-1,0,0)$。$\parallel \mathit{l}\parallel =\sqrt{2}$，正规化：

轴线坐标与射线坐标的区别仅在前三个分量与后三个分量交换位置。此处结果为轴线坐标形式 $(\mathit{l};{\mathit{l}}^0)$。

面-面关系多用法向量与平面约束关系：对于平面 ${\mathit{\pi }}_1=(\mathit{a};a_0)=(a_x,a_y,a_z,a_0)$ 和 ${\mathit{\pi }}_2=(\mathit{b};b_0)=(b_x,b_y,b_z,b_0)$。两平面的法向量分别为 $\mathit{a}$ 和 $\mathit{b}$

交线垂直于两法向量：

$$\mathit{l}=\mathit{a}\times \mathit{b}$$

交线上任一点 $\mathit{r}$ 同时满足两平面方程 $\mathit{a}\cdot \mathit{r}+a_0=0$ 和 $\mathit{b}\cdot \mathit{r}+b_0=0$，因此线矩

$${\mathit{l}}^0=\mathit{r}\times \mathit{l}=a_0\mathit{b}-b_0\mathit{a}$$

二、 旋量 ​

1. 定义类 ​

此类题目比较简单，需要注意旋量的基本表达形式，以及节距 $h$ , 轴线位置 $\mathit{r}$ 的计算方法即可

旋量的对偶量 ${\mathit{s}}^0=\mathit{r}\times \mathit{s}+h\mathit{s}$，其中 $\mathit{r}$ 是轴线上任意一点的位置矢量。$\mathit{r}$ 沿 $\mathit{s}$ 方向平移不改变 $\mathit{r}\times \mathit{s}$ ，因此 $\mathit{r}$ 不唯一 。公式 $\mathit{r}={\displaystyle \frac{\mathit{s}\times {\mathit{s}}^0}{\mathit{s}\cdot \mathit{s}}}$ 给出的是 $|\mathit{r}|$ 最小的那个——原点向轴线作垂线的垂足。

单位旋量：

值得注意的是，旋量的对偶量${\mathit{s}}^0$由两个部分组成，垂直于轴线方向向量的$\mathit{r}\times \mathit{s}$ 与平行于轴线方向向量的$\mathit{h}\mathit{s}$

1.1 题目：填空，使成为指定节距的旋量。 ​

(a) $(1,0,0;x,0,0)$，$h=1$

$\parallel \mathit{s}\parallel =1$，$h=x=1\Rightarrow x=1$。

(b) $(1,0,0;1,x,0)$，$h=1$

$\parallel \mathit{s}\parallel =1$，$h=(1,0,0)\cdot (1,x,0)\equiv 1$，与 $x$ 无关。$x$ 为任意实数。

(c) $(1,0,0;1,x,0)$，$h=10$

节距固定为 $1$，不可能为 $10$。无解。

(d) $(1,x,0;1,0,0)$，$h=1$

$\parallel \mathit{s}{\parallel }^2=1+x^2$。$h={\displaystyle \frac{(1,x,0)\cdot (1,0,0)}{1+x^2}}={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}=1\Rightarrow x=0$。

节距公式 $h={\displaystyle \frac{\mathit{s}\cdot {\mathit{s}}^0}{\mathit{s}\cdot \mathit{s}}}$ 。当 $\parallel \mathit{s}\parallel =1$ 时 $h=\mathit{s}\cdot {\mathit{s}}^0$。注意 ${\mathit{s}}^0$ 中与 $\mathit{s}$ 正交的分量（$\mathit{r}\times \mathit{s}$）不影响节距——节距只取决于 ${\mathit{s}}^0$ 在 $\mathit{s}$ 方向上的投影。

2. 节距 $h$ 的性质 ​

2.1 题目：证明旋量的节距与原点选择无关。 ​

解：

坐标系平移 $\mathit{a}$，${\mathit{r}}^{\prime }=\mathit{r}-\mathit{a}$。对偶量变化：

因此：

轴线位置 $\mathit{r}$ 依赖于原点，证明的关键在于 $\mathit{s}\cdot (\mathit{a}\times \mathit{s})=0$ （混合积循环置换后自叉为零）。

3. 轴线位置 $\mathit{r}$ 的性质 ​

3.1 题目：已知旋量 $\mathbf{\$}=(1,0,0;0,2,0)$，求其轴线位置 $\mathit{r}$，并说明是否唯一。 ​

解：

$\mathit{r}={\displaystyle \frac{\mathit{s}\times {\mathit{s}}^0}{\mathit{s}\cdot \mathit{s}}}={\displaystyle \frac{(1,0,0)\times (0,2,0)}{1}}=(0,0,2)$

验证：$\mathit{r}\times \mathit{s}+h\mathit{s}=(0,0,2)\times (1,0,0)+0\cdot (1,0,0)=(0,2,0)={\mathit{s}}^0$。

轴线上任意一点 ${\mathit{r}}^{\prime }=\mathit{r}+t\mathit{s}=(t,0,2)$（$t\in \mathbb{R}$ ）均给出相同的 ${\mathit{s}}^0$：

${\mathit{r}}^{\prime }\times \mathit{s}=(t,0,2)\times (1,0,0)=(0,2,0)={\mathit{s}}^0$。

公式 $\mathit{r}=\frac{\mathit{s}\times {\mathit{s}}^0}{\mathit{s}\cdot \mathit{s}}$ 给出的 $(0,0,2)$ 正好是原点向轴线作垂线的垂足（$|\mathit{r}|=2$ 为最小值）。因此 $\mathit{r}$ 可以在用来求空间点到直线的距离.

3.2 题目：若旋量 $\mathbf{\$}$ 的节距 $h=0$，轴线位置为 $\mathit{r}$。将坐标系平移 $\mathit{a}$，证明新坐标系下公式 ${\mathit{r}}^{\prime }={\displaystyle \frac{\mathit{s}\times {\mathit{s}}^0{}^{\prime }}{\mathit{s}\cdot \mathit{s}}}$ 给出的仍为目标轴线上的一点（但不一定是平移 $\mathit{a}$ 后的原 $\mathit{r}$ 点）。 ​

解：

平移后 ${\mathit{s}}^0{}^{\prime }={\mathit{s}}^0-\mathit{a}\times \mathit{s}$。代入：

利用三重叉积：$\mathit{s}\times (\mathit{a}\times \mathit{s})=|\mathit{s}{|}^2\mathit{a}-(\mathit{s}\cdot \mathit{a})\mathit{s}$ ，代入得：

$\mathit{r}-\mathit{a}$ 正是原 $\mathit{r}$ 在新坐标系下的位置。末项 $\frac{\mathit{s}\cdot \mathit{a}}{|\mathit{s}{|}^2}\mathit{s}$ 是沿轴线方向的修正量——公式自动将新坐标系下的轴线点调整到离新原点最近的垂足位置。

4. 旋量的运算与互易积 ​

4.1 题目：证明自互易旋量只有线矢量和偶量。 ​

解：$\mathit{s}\cdot {\mathit{s}}^0=h|s{|}^2$

• 若 $h=0$，为线矢量
• 若 $|s|=0$：为偶量（有且仅有对偶项）

自互易即 $\mathbf{\$}\circ \mathbf{\$}=0$，展开得

$$\mathit{s}\cdot {\mathit{s}}^0=\stackrel{=0}{\overbrace{\mathit{s}\cdot (\mathit{r}\times \mathit{s})}}+\mathit{s}\cdot h\mathit{s}=h|s{|}^2$$

即，自互易含两种退化情形。

$$h=0\mathrm{或}|s|=0$$

4.2 题目：证明旋量的互易积与坐标系的选择无关 ​

解：

坐标系平移 $\mathit{a}$ 后，方向矢量不变，${\mathit{s}}_i^0{}^{\prime }={\mathit{s}}_i-\mathit{a}\times {\mathit{s}}_i$。

由混合积恒等式 ${\mathit{s}}_2\cdot (\mathit{a}\times {\mathit{s}}_1)=-{\mathit{s}}_1\cdot (\mathit{a}\times {\mathit{s}}_2)$ （交换两个向量的位置），后两项相消。因此互易积在平移下不变。